Déterminer une forme trigonométrique - Corrigé

Énoncé

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants.

1.  $z_1=-3i$

2. $z_2=-2+2i$

3. $z_3=-1+\sqrt{3}i$

4. $z_4=3-\sqrt{3}i$

Solution
1. On a : $\left|z_1\right|=|-3i|=3$  et donc $\begin{array}{rl}{z}_1& =3\times (-i)=3(0-1i)=3(\cos \frac{-\pi }{2}+i\sin \frac{-\pi }{2}).\end{array}$

2. On a : $\left|z_2\right|=|-2+2i|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
et donc 
$\begin{array}{rl}{z}_2& =2\sqrt{2}(-\frac{2}{2\sqrt{2}}+i\frac{2}{2\sqrt{2}})=2\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}).\end{array}$

3. On a : $\left|z_3\right|=|-1+\sqrt{3}i|=\sqrt{(-1{)}^2+{\sqrt{3}}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
et donc 
$\begin{array}{rl}{z}_3& =2(\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}).\end{array}$

4. On a $:\left|z_4\right|=|3-\sqrt{3}i|=\sqrt{3^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
et donc :
$\begin{array}{rl}{z}_4& =2\sqrt{3}(\frac{3}{2\sqrt{3}}-i\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}})=2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)=2\sqrt{3}(\cos \frac{-\pi }{6}+i\sin \frac{-\pi }{6}).\end{array}$